Equa diff et Primitives | Maths et Maryam

Introduction à l’analyse (partie III).

Introduction aux équations différentielles

Les équations différentielles sont nombreuses en physique. Il s’agit d’équations dont l’inconnue est une fonction. Par exemple l’équation différentielle $y^{'} = y$ a pour solution $f (x) = k \times e^{x}$ où $k$ est un nombre réel. Plus généralement, en notant $a$ et $b$ deux nombres réels, l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants $y^{'} = a \times y + b$ a pour solution générale $f (x) = k \times e^{a \times x} - \frac{b}{a}$

On peut en effet vérifier que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle quelque soit la valeur de $k$ . Lorsque b = 0, la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions. Lorsque $a$ est négatif, le deuxième terme appelé solution particulière constante $- \frac{b}{a}$ correspond à la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ , par exemple la charge d’un condensateur $U_{c} (t)$ ou la température extérieur d’un système qui refroidit $T (t)$ :

$\frac{d U_{c}}{d t} = \frac{- 1}{τ} \times U_{c} + \frac{E}{τ}$

$\frac{d T}{d t} = \frac{- 1}{τ} \times (T - T_{e x t})$

Pour une condition initiale donnée, par exemple $U_{c} (t = 0) = 0$ ou $T (t = 0) = T_{0}$ , il existe une unique solution aux équations différentielles précédentes. La condition initiale permet de trouver la valeur de $k$ et par conséquent de déterminer l’unique solution vérifiant simultanément l’équation différentielle et la condition initiale donnée.

Introduction aux primitives

On appelle primitive d’une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ , une fonction $F$ qui vérifie $F^{'} = f$ , autrement dit une solution de l’équation différentielle $y^{'} = f$ . La recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées. A noter que deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent seulement d’une constante.

Fonction	Domaine $D_{f}$	Primitive	Domaine $D_{F}$
$f (x) = 0$	$R$	$F (x) = k$	$R$
$f (x) = 1$	$R$	$F (x) = x$	$R$
$f (x) = x$	$R$	$F (x) = \frac{1}{2} \times x^{2}$	$R$
$f (x) = x^{n}$	Dépend de n	$F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	Dépend de n
$f (x) = e^{x}$	$R$	$F (x) = e^{x}$	$R$
$f (x) = \frac{1}{x}$	$x \neq 0$	$F (x) = l n (x)$	$] 0, + \infty [$
$f (x) = s i n (x)$	$R$	$F (x) = - c o s (x)$	$R$
$f (x) = c o s (x)$	$R$	$F (x) = s i n (x)$	$R$

On a aussi les propriétés suivantes pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, en reconnaissant la dérivée d’une fonction de référence:

Fonction	Primitive
$f^{'} + g^{'}$	$f + g$
$f^{'} \times g + f \times g^{'}$	$f \times g$
$u^{'} \times u^{n}$	$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{u^{'}}{u}$	$l n (u)$
$\frac{u^{'}}{\sqrt{u}}$	$2 \times \sqrt{u}$
$u^{'} \times e^{u}$	$e^{u}$

Théorème: Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Remarque: Pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite. On peut approchée une solution par la méthode d’Euler.

Exercices résolus

Livret de la 1ère à la terminale: Exerices 18 à 28.
Livret de la terminale au supérieur: Exerice 6.