Introduction à l’analyse (partie III).
Introduction aux équations différentielles
Les équations différentielles sont nombreuses en physique. Il s’agit d’équations dont l’inconnue est une fonction.
Par exemple l’équation différentielle $y’=y$ a pour solution $f(x)=k\times e^x$ où $k$ est un nombre réel. Plus généralement, en notant $a$ et $b$ deux nombres réels, l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants
\begin{equation*}
y’ = a \times y + b
\end{equation*}
a pour solution générale
\begin{equation*}
f(x)=k\times e^{a \times x} - \frac{b}{a}
\end{equation*}
On peut en effet vérifier que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle quelque soit la valeur de $k$. Lorsque b = 0, la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions. Lorsque $a$ est négatif, le deuxième terme appelé solution particulière constante $- \frac{b}{a}$ correspond à la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$, par exemple la charge d’un condensateur $U_c(t)$ ou la température extérieur d’un système qui refroidit $T(t)$:
\begin{equation*}
\frac{dU_c}{dt} = \frac{-1}{\tau} \times U_c + \frac{E}{\tau}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dT}{dt} = \frac{-1}{\tau} \times (T - T_{ext})
\end{equation*}
Pour une condition initiale donnée, par exemple $U_c(t=0)=0$ ou $T(t=0)=T_{0}$, il existe une unique solution aux équations différentielles précédentes. La condition initiale permet de trouver la valeur de $k$ et par conséquent de déterminer l’unique solution vérifiant simultanément l’équation différentielle et la condition initiale donnée.
Introduction aux primitives
On appelle primitive d’une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$, une fonction $F$ qui vérifie $F’=f$, autrement dit une solution de l’équation différentielle $y’ = f$. La recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées. A noter que deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent seulement d’une constante.
| Fonction | Domaine $D_f$ | Primitive | Domaine $D_{F}$ |
|---|---|---|---|
| $f(x) = 0$ | $\mathbb{R}$ | $F(x) = k$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = 1$ | $\mathbb{R}$ | $F(x) = x$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = x$ | $\mathbb{R}$ | $F(x) = \frac{1}{2}\times x^2$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = x^n$ | Dépend de n | $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ | Dépend de n |
| $f(x) = e^x$ | $\mathbb{R}$ | $F(x) = e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $x\neq0 $ | $F(x) = ln(x)$ | $]0,+\infty[$ |
| $f(x) = sin(x)$ | $\mathbb{R}$ | $F(x) = -cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = cos(x)$ | $\mathbb{R}$ | $F(x) = sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
On a aussi les propriétés suivantes pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, en reconnaissant la dérivée d’une fonction de référence:
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| $f’+g'$ | $f+g$ |
| $f’\times g + f \times g'$ | $f\times g$ |
| $u’ \times u^n$ | $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $\frac{u’}{u}$ | $ln(u)$ |
| $\frac{u’}{\sqrt{u}}$ | $2\times \sqrt{u}$ |
| $u’ \times e^u$ | $e^u$ |
Théorème: Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Remarque: Pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite. On peut approchée une solution par la méthode d’Euler.
Exercices résolus
- Livret de la 1ère à la terminale: Exerices 18 à 28.
- Livret de la terminale au supérieur: Exerice 6.